КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ

СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ

    Средняя скорость – не самое сложное понятие в кинематике. Однако для многих учащихся простота этого понятия оказывается обманчивой.
    Известно, что средняя скорость – это величина, равная отношению пути, пройденного телом, ко времени, за которое пройден этот путь:

Краткость и простота определения скрывают от некоторых учеников важные для решения задач вопросы и ответы на них.

1. Какое время следует учитывать при расчете средней скорости, если тело в пути делало остановки?
    В определении указано: “...ко времени, за которое пройден этот путь”, то есть ко всему промежутку времени с момента, когда тело тронулось в этот путь (представьте, что Вы включили секундомер), до момента, когда тело преодолело этот путь (только в этот момент Вы останавливаете секундомер!). О том, что время на остановки не следует учитывать, в определении ничего не сказано (поэтому секундомер на промежуточных остановках не выключайте!). Таким образом, при расчете средней скорости следует учитывать всё время, которое ушло на преодоление пути (в том числе и время, потраченное на остановки).

    2. Как правильно рассчитать среднюю скорость тела, которое начало движение в пункте А, окончило его в пункте В, но по дороге из А в В поворачивало назад (может быть ни один раз!), а затем вновь продолжало движение к пункту В?
   В определении указано “...равная отношению пути, пройденного телом...”, значит, при расчете средней скорости определяющим является не расстояние между точками (пунктами) начала и окончания движения, а реальный путь, которое прошло тело.

Пример 1. Найти среднюю скорость человека на пути от дома до станции, расстояние между которыми l =800 м, если, пройдя четверть пути, он вернулся домой (например, проверить, хорошо ли закрыта дверь) и через мин продолжил путь на станцию. Скорость движения человека постоянна и равна v =4 км/ч.

Решение. Началом движения человека, конечно, следует считать момент времени, когда он первый раз вышел из дома. Четверть пути составляет расстояние l_1/4 =l : 4 =800 : 4 =200 м. При возвращении домой человек прошел путь 2l_1/4 =400 м. После этого он вышел из дома второй раз и дошел до станции. Путь, пройденный человеком с начала движения, составит:

S = 2l_1/4 + l =400 + 800 =1200 м =1,2 км.

Время t, которое затрачено на преодоление этого пути, складывается из времени пребывания дома и времени Т, в течение которого человек двигался по маршруту “из дома–к дому–на станцию”. Поскольку скорость движения человека постоянна (v =4 км/ч) и проделанный путь известен, то время движения составляет:

1,2 км : 4 км/ч =0,3 ч =18 мин.

Тогда все время, затраченное человеком, составляет:

t =+ T = 2 + 18 =20 мин =1/3 ч.

Найдем среднюю скорость:

1,2 км : ч =3,6 км/ч.

Ответ: v_ср =3,6 км/ч.

Среднюю скорость движения человек оценивает довольно часто, но судит о ней, глядя на часы. Торопящийся человек соотносит расстояние, которое ещё осталось преодолеть, и время, отпущенное ему на это, после чего делает вывод (хотя числовое значение средней скорости вряд ли при этом находится): “Ну, теперь можно идти помедленнее” или “Придется еще поднажать, иначе не успею”.

Вернемся к рассмотренному примеру. Будем считать, что скорость v₀ =4 км/ч выбрана человеком не случайно. проходя от дома до станции ежедневно, человек замечает, что расстояние l ==800 м, он проходит за время t₀ =12 мин =0,2 ч:

= 0,8 км : 0,2 ч =4 км/ч.

По существу, это – средняя скорость, поскольку доподлинно неизвестно, с какой скоростью человек идет в каждый момент времени. Двигаясь с такой скоростью и затрачивая время t₀, человек ежедневно успевает на станцию вовремя. Если приходится возвращаться домой (увеличивать путь, который надо преодолеть и на это требуется дополнительное время) или останавливаться (увеличивая время, необходимое на преодоление пути), выбранная скорость движения v₀ не подходит: можно опоздать на станцию. Значит, надо увеличивать скорость движения. Но как это сделать без напрасных затрат сил?

Пример 2. Человек обычно доходит из дома до станции за время t₀ =12 мин, проходя расстояние l =800 м. Однажды, пройдя четверть пути, он вспоминает, что не выключил электроприборы, и возвращается домой, выключает электроприборы, затрачивая время= 2 мин, и снова идет на станцию. С какой наименьшей скоростью надо двигаться человеку, после того как он повернул домой, чтобы успеть на станцию в обычное время (и не опоздать на электричку).

Решение.

1. Обычно человек двигается со скоростью

 м/мин = 4 км/ч.

2. Пройдя с такой скоростью четверть пути, он затратил время

: 4 км/ч =0,05 ч =3 мин.

Значит, в его распоряжении осталось время Т₂ =t₀ – T₁ =12 – 3 =9 мин.

3. За время Т₂ человек должен преодолеть путь до дома, а затем снова до станции:
м =1 км и, кроме того, часть времени (= 2 мин) потратить дома. Поэтому путь S человеку придется преодолевать за время

ч,

то есть со скоростью, не меньшей, чем

1 км : ч =км/ч =км/ч = 8,6 км/ч.

Проверьте, что добежав до дома со скоростью км/ч, а затем шагая со скоростью v₂ =2v₀ =8 км/ч, человек придет на станцию вовремя.
Ответ: человеку необходимо двигаться со скоростью, не меньшей, чем км/ч. Обратите внимание, что средняя скорость за время (t =12 минут) от начала движения до его окончания составляет

м/мин =100 м/мин =6 км/ч.

Найденное значение v_ср в полтора раза выше, чем v₀, и показывает, с какой начальной скоростью следует выходить человеку из дома, если он забывчив.

На рис.1 показан график зависимости скорости человека от времени для примера 2 в случае, если человек бежит домой со скоростью v₁ =3v₀ ==12 км/ч, а затем идет до станции очень быстрым шагом со скоростью v₂ =2v₀ =8 км/ч. Штрихпунктирной линией указан график движения со скоростью v₀, а тонкой линией – со скоростью v_ср =6 км/ч.

Подсчитаем среднее арифметическое для значений скорости v₀, v₁, v₂:

км/ч.

Это значение не равно значению средней скорости v_ср. Убедитесь в этом и не совершайте в дальнейшем распространенную ошибку: не пытайтесь искать среднюю скорость как среднее арифметическое значение (оно не имеет физического смысла!).

Пример 3. Автомобиль проезжает первую треть пути равномерно со скоростью v₁ =108 км/ч, а остальные две трети пути – со скоростью v₂ =72 км/ч. Найти среднюю скорость автомобиля.
Решение. Неверно считать, что средняя скорость совпадает со средним арифметическим значением v₁ и v₂, которое составляет

км/ч.

1. Найдем время t₁ движения со скоростью v₁, полагая, что весь путь равен L [км]. Из условия ясно, что

2. Время t₂ движения на оставшемся участке пути составляет

3. Итак, время на продолжение пути L составляет

4. По определению средней скорости

км/ч.

Ответ: средняя скорость v_ср =81 км/ч.

Значение средней скорости совпадает со средним арифметическим значением скорости только в одном частном случае, когда тело двигается с различными скоростями так, что между последовательными моментами изменения (переключения) скорости проходит одинаковое время Т. Таким образом, тело двигается со скоростью v₁ в течение времени t₁=T, со скоростью v₂ в течение времени t₂=T, со скоростью v₃ в течение времени t₃=T и т.д. Если на протяжении пути скорость изменялась n раз, то пройденный путь

S =v₁t₁ + v₂t₂ + v₃t₃ + ... +v_nt_n =T(v₁ + v₂ + v₃ + ... +v_n).

Время t, за которое пройден путь, составляет

t =t₁ + t₂ + t₃ + ... + t_n =T*n.

По определению:

.

Не запрещено для этого частного случая двигаться со скоростью v₀=0, т.е. делать остановки. Но время остановки должно составлять t₀ =T.

Пример 4. Вертолет пролетает без остановок равномерно и прямолинейно над пунктами А, В, С (в указанном порядке) и возвращается в А. Пункты А, В, С являются как бы вершинами треугольника. Расстояние между А и В составляет L_AB =150 км, между В и С L_BC =200 км, между С и А L_CA =100 км. Время, за которое вертолет пролетает от одного пункта до другого, составляет полчаса. Найти среднюю скорость движения вертолета на маршруте АВСА. Изменится ли средняя скорость, если L_CA =200 км и всё расстояние вертолет преодолеет за 1 ч?

Решение. 1. Находим скорость движения вертолета на каждом участке:

км/ч;

км/ч;

км/ч.

2. Поскольку t =0,5 ч одинаково для всех участков движения, то

км/ч.

3. Если расстояние L_СА =200 км и t_CA =1ч, то не меняется v_CA=200 км/ч. Но в этом случае нельзя подсчитывать (для простоты) среднюю скорость как среднее арифметическое, так как t_CА ? t_AB ==t_BC.

км/ч.

Ответ: 1) v_cp1 =300 км/ч; 2) v_cp2 =275 км/ч.

Контрольные задания

1. Через каждые 10 с в течение времени Т =2 мин записываются показания спидометра автомобиля. Можно ли определить его среднюю скорость?

Варианты

а) среднюю скорость надо вычислить как среднее арифметическое записанных значений;
б) среднюю скорость найти нельзя, так как неизвестен пройденный путь;
в) среднюю скорость найти можно, но это будет средняя скорость за 2 мин движения;
г) следует продолжать запись в течение 1 ч, тогда получится значение средней скорости, выраженное в км/ч.

 

2. Небольшое тело стоит у основания наклонной плоскости в точке А (рис.2). Телу придают начальную скорость, и оно движется вверх по наклонной плоскости, проходит половину пути (точка В) от основания до вершины, а затем соскальзывает с наклонной плоскости и, продолжая двигаться по горизонтальному участку, останавливается в точке С, расположенной на расстоянии L=0,7 м от основания наклонной плоскости (точки А). На весь путь тело затратило время Т=1,5 с, а его средняя скорость составила v_ср=2 м/с. Найти расстояние от основания до вершины наклонной плоскости (AD).

Варианты а) AD= 2,3 м; б) AD=3 м; в) AD=3,7 м; г) AD=3,2 м; д) AD=2 м.

3. Половину всего пройденного пути тело двигалось со скоростью v₁=v, а оставшуюся часть пути – со скоростью v₂=3v. Найти среднюю скорость движения тела на этом пути.

Варианты а) v_ср =2,5v; б) v_ср =2v; в) v_ср =1,5v; г) v_ср =2,2v; д) v_ср =1,7v.

 

Правильные ответы

1. Правильный ответ: б). Поскольку неизвестен пройденный путь, то среднюю скорость найти нельзя. Вычислять ее как среднее арифметическое также нельзя, так как в течение 10 с скорость могла изменяться (автомобиль, например, мог остановиться, а затем вновь набрать прежнюю скорость).

2. Правильный ответ: а) AD =2,3 м. По определению

откуда AD =v_cpT–L.

3. Правильный ответ: в) v_ср =1,5v.

где L – пройденный путь; T – время, затраченное на весь путь; –время, за которое пройдена первая половина пути; – время, за которое пройден оставшийся путь.